Envariabelanalys M

6.- Integraler - Standardintegraler

Frågor

Fråga 1

Trigonometriska antiderivator

Vad blir $$ \int -\cos(x) dx. $$

Svar:

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)

Fråga 2

Polynom

Matcha integralen med dess lösning

$f(x)$

$$ \int (4x^2+2x-5) dx $$

→

Släpp här

$$ \int (4x^2-3x+2) dx $$

→

Släpp här

$$ \int -2 dx $$

→

Släpp här

$F(x)$

$-2x + C$

$\frac{4x^3}{3}+x^2-5x + C$

$\frac{4x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x + C$

Fråga 3

Avancerade integraler av trigonometriska funktioner

Matcha integralen till dess svar

$f(x)$

$$ \int -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$

→

Släpp här

$$ \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$

→

Släpp här

$$ \int \dfrac{1}{1+x^2}dx $$

→

Släpp här

$F(x)$

$\arcsin(x) + C$

$\arccos(x) + C$

$\arctan(x) + C$

Fråga 4

Exponentialfunktioner

Beräkna $$ \int e^{-5x} dx $$

$-\frac{1}{5} \cdot e^{-5x} + C$

$-\frac{1}{5} \cdot e^{-6x} + C$

$-\frac{1}{10} \cdot e^{-5x} + C$

$\frac{1}{5} \cdot e^{-5x} + C$

Fråga 5

$1/x$

Beräkna $$ \int \frac{1}{x-3} dx $$

$\ln(|x-3|) + C$

$\ln(x-3) + C$

$\frac{1}{3}$

Fråga 6

Integrera polynom

Integrera följande funktion:

$$ \int (2x^2+2x-2) dx $$

Svar:

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)

Fråga 7

Integrera trigonometriska funktioner

Om $f(x) = -\sin(x)$ vad är då $F(x)$?

$F(x)=$

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)