Mozquizto

Fråga 1

Positiv, negativ eller ingetdera?

Vilket av nedanstående påståenden är sanna om följden $$ \dfrac{10}{9}, \quad \dfrac{10}{9}-\left(\dfrac{10}{9}\right)^2, \quad \dfrac{10}{9}-\left(\dfrac{10}{9}\right)^2+\left(\dfrac{10}{9}\right)^3, \quad \dfrac{10}{9}-\left(\dfrac{10}{9}\right)^2+\left(\dfrac{10}{9}\right)^3-\left(\dfrac{10}{9}\right)^4, \quad \dots $$

Den konvergerar mot något negativt.
Den konvergerar inte.
Den konvergerar mot något positivt.
Markera det korrekta alternativet. När du är färdig, glöm inte att bekräfta ditt svar genom att klicka på 'Svara'.

Fråga 2

Roten ur ett polynom

Följden $(a_n)$ definieras som $$ a_n = (3n^{5}+3n^{4}+5n^{2}+5n^{2})^{1/n}. $$ Avgör huruvida $(a_n)$ konvergerar och bestäm isåfall mot vad. (Om du anser att följden inte konvergerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 3

Inkrement i roten ur

Avgör om följden $$ \sqrt{1+156}-\sqrt{1}, \quad \sqrt{2}\left(\sqrt{2+156}-\sqrt{2}\right), \quad \sqrt{3}\left(\sqrt{3+156}-\sqrt{3}\right), \quad \sqrt{4}\left(\sqrt{4+156}-\sqrt{4}\right), \quad\dots $$ konvergerar och ange isåfall mot vad. (Om du anser att den inte konvergerar, svara med $-1$)

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 4

Produkt och viktad summa som konvergerar

Om följderna $(a_n)$ och $(b_n)$ är det känt att $(a_n/b_n) \to c$ och att följden $(3a_n+2b_n)$ konvergerar. Bestäm det värde på $c \in \mathbf{R}$ som inte medför att $(a_n)$ och $(b_n)$ också konvergerar.

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 5

Produkt och kvot som konvergerar

Om följderna $(a_n)$ och $(b_n)$, bestående av positiva reella tal, är det känt att $(a_nb_n) \to 100$ och $(a_n/b_n) \to 64$. Avgör om $(b_n)$ nödvändigtvis måste konvergera och bestäm isåfall mot vad. (Om $(b_n)$ inte nödvändigtvis konvergerar, eller det inte går att bestämma mot vilket tal, svara med $-1$).

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 6

Två linjära kombinationer av två följder

Om följderna $(a_n)$ och $(b_n)$ är det känt att $$ (3a_n+5b_n) \to 32, \quad (2a_n+6b_n) \to 32. $$ Avgör huruvida $(a_n)$ konvergerar och bestäm isåfall mot vad. (Om du anser att $(a_n)$ inte konvergerar, svara med $-1$.)

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 7

Tre konvergenta följder

Om följderna $(a_n)$, $(b_n)$ och $(c_n)$, bestående av positiva reella tal, är det känt att $(a_nb_n) \to 15$, $(b_nc_n) \to 35$, $(c_na_n) \to 21$. Avgör huruvida $(a_n)$ konvergerar, och bestäm isåfall mot vad. (Ledning: Även om uppgiften är konstruerad så att ingen miniräknare ska behövas, kan det underlätta med en.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 8

Störningar i täljare och nämnare

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{n \to \infty} \frac{8n+\arctan(n)}{5n + \sin(n)} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 9

En kvots tillväxttakt

Bestäm det största $c \in \mathbf{R}$ för vilken kvoten $$ n^c \cdot \frac{10n^{6}+7n^{3}+8e^{-3n^{-3}}}{4n^{10}+3n^{5}+10e^{-1n^{-1}}} $$ konvergerar när $n \to \infty$. (Om det inte finns ett största sådant tal, svara med $-1$.)

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 10

Ett rubbat rationellt uttryck

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to 0^{-}}\frac{6x^2+7x+9e^{1/x}}{7x^2+4x+2e^{1/x}} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att det inte existerar, svara med $-1$.)

$_{}$

(Ledning: Använd faktumet $\lim_{x \to 0^-} e^{1/x}/x = 0$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 11

Rationell i $e^n$

Avgör huruvida $$ \lim_{n \to \infty} \frac{7e^{7n}+6e^{5n}}{8e^{7n}+5e^{4n}} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att det inte gör det, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 12

Ett rationellt uttryck

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to 4}\frac{x^3-8x^2+18x-8}{x^3-9x^2+26x-24} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 13

Avrundat upp och ned

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to 0} \frac{2\lceil 1/x \rceil + 4}{5\lfloor 1/x \rfloor + 3} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att det inte existerar, svara med $-1$.)

$_{}$

OBS! För ett reellt tal $t$, betecknar $\lfloor t \rfloor$ det största heltalet mindre än eller lika med $t$. Motsvarande betecknar $\lceil t \rceil$ det minsta heltalet större än eller lika med $t$. Exempelvis är $\lfloor \pi \rfloor = 3$ medan $\lceil \pi \rceil=4$.

$_{}$

(Ledning: Om $t \in \mathbf{R}$ är stort, gäller $t \approx \lfloor t \rfloor$ och $t \approx \lceil t \rceil$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 14

Ett förvrängt rationellt uttryck

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to 0^{+}}\frac{4x^2+8x+5e^{1/x}}{6x^2+2x+5e^{1/x}} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att det inte existerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning: