Mozquizto

Fråga 1

Positiv, negativ eller ingetdera?

Vilket av nedanstående påståenden är sanna om följden $$ \dfrac{-5}{2}, \quad \dfrac{-5}{2}-\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2, \quad \dfrac{-5}{2}-\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-5}{2}\right)^3, \quad \dfrac{-5}{2}-\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-5}{2}\right)^3-\left(\dfrac{-5}{2}\right)^4, \quad \dots $$

Den konvergerar inte.
Den konvergerar mot något negativt.
Den konvergerar mot något positivt.

Fråga 2

Roten ur ett polynom

Följden $(a_n)$ definieras som $$ a_n = (4n^{6}+2n^{3}+3n^{2}+5n^{1})^{1/n}. $$ Avgör huruvida $(a_n)$ konvergerar och bestäm isåfall mot vad. (Om du anser att följden inte konvergerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 3

Inkrement i roten ur

Avgör om följden $$ \sqrt{1+852}-\sqrt{1}, \quad \sqrt{2}\left(\sqrt{2+852}-\sqrt{2}\right), \quad \sqrt{3}\left(\sqrt{3+852}-\sqrt{3}\right), \quad \sqrt{4}\left(\sqrt{4+852}-\sqrt{4}\right), \quad\dots $$ konvergerar och ange isåfall mot vad. (Om du anser att den inte konvergerar, svara med $-1$)

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 4

Produkt och viktad summa som konvergerar

Om följderna $(a_n)$ och $(b_n)$ är det känt att $(a_n/b_n) \to c$ och att följden $(5a_n+2b_n)$ konvergerar. Bestäm det värde på $c \in \mathbf{R}$ som inte medför att $(a_n)$ och $(b_n)$ också konvergerar.

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 5

Produkt och kvot som konvergerar

Om följderna $(a_n)$ och $(b_n)$, bestående av positiva reella tal, är det känt att $(a_nb_n) \to 36$ och $(a_n/b_n) \to 144$. Avgör om $(b_n)$ nödvändigtvis måste konvergera och bestäm isåfall mot vad. (Om $(b_n)$ inte nödvändigtvis konvergerar, eller det inte går att bestämma mot vilket tal, svara med $-1$).

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 6

Två linjära kombinationer av två följder

Om följderna $(a_n)$ och $(b_n)$ är det känt att $$ (4a_n+5b_n) \to 58, \quad (3a_n+7b_n) \to 63. $$ Avgör huruvida $(a_n)$ konvergerar och bestäm isåfall mot vad. (Om du anser att $(a_n)$ inte konvergerar, svara med $-1$.)

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 7

Tre konvergenta följder

Om följderna $(a_n)$, $(b_n)$ och $(c_n)$, bestående av positiva reella tal, är det känt att $(a_nb_n) \to 10$, $(b_nc_n) \to 35$, $(c_na_n) \to 14$. Avgör huruvida $(a_n)$ konvergerar, och bestäm isåfall mot vad. (Ledning: Även om uppgiften är konstruerad så att ingen miniräknare ska behövas, kan det underlätta med en.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 8

Störningar i täljare och nämnare

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{n \to \infty} \frac{5n+\arctan(n)}{3n + \sin(n)} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 9

En kvots tillväxttakt

Bestäm det största $c \in \mathbf{R}$ för vilken kvoten $$ n^c \cdot \frac{7n^{8}+10n^{2}+7e^{-3n^{-3}}}{2n^{3}+8n^{2}+10e^{-2n^{-2}}} $$ konvergerar när $n \to \infty$. (Om det inte finns ett största sådant tal, svara med $-1$.)

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 10

Ett rubbat rationellt uttryck

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to 0^{-}}\frac{3x^2+4x+8e^{1/x}}{6x^2+3x+7e^{1/x}} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att det inte existerar, svara med $-1$.)

$_{}$

(Ledning: Använd faktumet $\lim_{x \to 0^-} e^{1/x}/x = 0$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 11

Rationell i $e^n$

Avgör huruvida $$ \lim_{n \to \infty} \frac{6e^{5n}+3e^{3n}}{2e^{10n}+3e^{8n}} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att det inte gör det, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 12

Ett rationellt uttryck

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to 2}\frac{x^3-4x^2+8x-8}{x^3-5x^2+12x-12} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 13

Avrundat upp och ned

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to 0} \frac{3\lceil 1/x \rceil + 3}{2\lfloor 1/x \rfloor + 4} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att det inte existerar, svara med $-1$.)

$_{}$

OBS! För ett reellt tal $t$, betecknar $\lfloor t \rfloor$ det största heltalet mindre än eller lika med $t$. Motsvarande betecknar $\lceil t \rceil$ det minsta heltalet större än eller lika med $t$. Exempelvis är $\lfloor \pi \rfloor = 3$ medan $\lceil \pi \rceil=4$.

$_{}$

(Ledning: Om $t \in \mathbf{R}$ är stort, gäller $t \approx \lfloor t \rfloor$ och $t \approx \lceil t \rceil$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 14

Ett förvrängt rationellt uttryck

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to 0^{+}}\frac{4x^2+5x+2e^{1/x}}{9x^2+8x+5e^{1/x}} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att det inte existerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning: