Mozquizto

Fråga 1

Samband mellan högre ordningens derivata och en viss kvot?

Om $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ är det känt att den är oändligt deriverbar i överallt och att $\lim_{x \to 0} f(x)/x^{6} = 5$. Avgör om det går att bestämma $f^{(5)}(0)$ och beräkna det isåfall. (Svara med $-1$ om du anser att informationen i uppgiften är otillräcklig.)

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 2

Är derivatan kontinuerlig i 0?

Funktionen $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ som ges av $$ f(x) = \begin{cases} x^2\sin(1/x), &x \neq 0\\ 0, &\text{annars} \end{cases} $$ är deriverbar (varför?). Avgör huruvida $\lim_{x \to 0} f'(x)$ existerar och beräkna det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 3

Alternerande udda nämnare

Avgör huruvida serien $$ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} $$ konvergerar och bestäm isåfall mot vad. (Om du anser att serien inte konvergerar, svara med $-1$.)

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 4

Hur fort avtar $ln(x)$ vid $1$?

Avgör om $\lim_{x \to 1} \ln\left(x^{6}\right)/(x-1)$ existerar och beräkna det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte finns, svara $-1$.)

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 5

$x\ln(x)$ nära 0

Avgör om gränsvärdet $\lim_{x \to 0} x\ln(x)$ existerar och beräkna det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara $-1$.).

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 6

Nästan den harmoniska serien

För $n \in \mathbf{Z}^+$, låt $$ s_n = \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\dots + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n}. $$ Avgör huruvida $\lim_{n \to \infty} s_n$ existerar och bestäm det isåfall.

$_{}$

(Ledning: Observera att $s_n=\sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k/n} \cdot \frac{1}{n}$.)

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 7

Summa av potenser

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{8}}\sum_{k=0}^n k^{7} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 8

En växande produkt

Definiera $s_n$ såsom: $$ s_n = \left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\dots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right\}^{1/n} $$ och avgör huruvida $s_n$ konvergerar och isåfall mot vad. (Om du anser att $s_n$ inte konvergerar, svara med $-1$.)

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x). Förkorta alla ingående bråk och förenkla så långt som möjligt.
Förhandsgranskning:

Fråga 9

Serie av approximationer till e

Bestäm det största talet $M$ för vilket serien $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{m}{n}\right)^{n^2} $$ konvergerar om $m < M$. (Om du anser att ett sådant tal $M$ inte finns, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 10

Kvot vs rot

Kvot och rot?

Låt $$ a_n = \begin{cases} 2^{-n}, & n \text{ jämn},\\ 2^{-(n+1)}, & n \text{ udda}. \end{cases} $$ Bestäm $\left[\limsup_{n \to \infty} a_{n+1}/a_n, \limsup_{n \to \infty} a_n^{1/n}\right]$.

Svara med en vektor, där varje element är ett rationellt tal. Rationella tal skrivs på formen a/b, där b>0. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare.
Förhandsgranskning:

Rot implicerar kvot?

Stämmer påståendet "Om rottestet ger konvergens, ger kvottestet också det"?

$_{}$

Vad säger kvoten om roten?

Om följden $(a_n)$ är det känt att $\limsup_{n \to \infty} a_{n+1}/a_n = 2$. Bestäm det största talet $c$ som uppfyller $\limsup_{n \to \infty} a_{n}^{1/n} \leq c$, oavsett val av $(a_n)$ sålänge den uppfyller kvot-villkoret.

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Kvot implicerar rot?

Stämmer påståendet "Om kvottestet ger konvergens, ger rottestet det också."?

$_{}$