Mozquizto

Fråga 1

Tecken

Bestäm $$ \left[\lim_{x \to 0^-} \frac{\vert x \vert}{x}, \lim_{x \to 0^+}\frac{\vert x \vert}{x}\right]. $$

Svara med en vektor, där varje element är ett rationellt tal. Rationella tal skrivs på formen a/b, där b>0. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare.
Förhandsgranskning:

Fråga 2

Parabel och sin

I nedanstående figur visas grafen till funktionen $f:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$.

Bestäm $[\lim_{x \to (-1)^-} f(x), \lim_{x \to 1^-} f(x)]$.

Svara med en vektor, där varje element är ett rationellt tal. Rationella tal skrivs på formen a/b, där b>0. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare.
Förhandsgranskning:

Fråga 3

Limma ihop parabler

Bestäm det största värdet på $a$ som gör funktionen $$ f(x) = \begin{cases} -3x^2-9x+1, & x \geq a \\ -5x^2-3, &x < a \end{cases} $$ kontinuerlig. (Ledning: En miniräknare med funktionen '$\sqrt{\cdot}$' kan underlätta.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 4

Nästan tangens

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to \pi/4} \frac{5+\frac{\sin(x)}{x-\pi/4}}{3+\frac{\cos(x)}{x-\pi/4}} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att det inte existerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 5

Konvergerande nollställen

Låt $P_n(x)=(1/n)x^2+\sin(1/n)x - 15/(4n)$. I det fall som reella nollställen existerar, låt $s_n$ beteckna den största roten till $P_n(x)$. Bestäm vad $(s_n)$ konvergerar mot.

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 6

Ett stundande slags gränsvärde

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{169+h}-\sqrt{169}}{h} $$ existerar och beräkna det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 7

Skalade $n$

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n/3}\right)^{8n} $$ existerar och bestäm det isåfall.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 8

Nästan $e$

Gränsvärdet $$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{4}{n}\right)^n $$ existerar. Bestäm det. (Svara med tre tecken i svarsrutan.)

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 9

Ett malplacerat $f$

Om funktionen $f: (-1, 1) \to \mathbf{R}$ är det känt att $\lim_{x \to 0} f(x)/x \to 2$ och att $f(x) \neq 0$, om $x \neq 0$. Avgör huruvida $$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(f(x))}{x} $$ existerar och bestäm isåfall gränsvärdet. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 10

Kvot mellan sinusuttryck

Bestäm $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(8x)}$.

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 11

En röra av klassiska gränsvärden

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{1/x^2} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

(Ledning: Observera att $$ \frac{\sin(x)}{x}=1+\frac{\sin(x)-x}{x}=1+\frac{1}{x/(\sin(x)-x)}. $$ )

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x). Förkorta alla ingående bråk och förenkla så långt som möjligt.
Förhandsgranskning:

Fråga 12

Tre kvalitativa egenskaper

Givet är en kontinuerlig funktion $f: [0, 3] \to \mathbf{R}$, om vilken det är känt att $f(1)=-4$ och $f(2)=2$. Klicka i samtliga alternativ som nödvändigtvis stämmer in på $f$.

Fråga 13

Två alternativ - Cirkelns ekvation

Det finns en kontinuerlig funktion $f: [-1, 1] \to \mathbf{R}$ som uppfyller likheten: $x^2 + f(x)^2 = 1$. Givet att $f(-4/5)=3/5$, bestäm $f(-13/85)$. (Ledning: En miniräknare rekommenderas.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 14

Två alternativ - En kubisk kurva

I nedanstående figur visas de punkter $(x, y)$ som uppfyller ekvationen $y^2=x^2(x+1)$.

Det finns en kontinuerlig funktion $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ som uppfyller ekvationen: $y^2=f(y)^2(f(y)+1)$. Bestäm $f(0)$.

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning: