Mozquizto

Fråga 1

Tecken

Bestäm $$ \left[\lim_{x \to 0^-} \frac{\vert x \vert}{x}, \lim_{x \to 0^+}\frac{\vert x \vert}{x}\right]. $$

Svara med en vektor, där varje element är ett rationellt tal. Rationella tal skrivs på formen a/b, där b>0. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare.
Förhandsgranskning:

Fråga 2

Parabel och sin

I nedanstående figur visas grafen till funktionen $f:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$.

Bestäm $[\lim_{x \to (-1)^-} f(x), \lim_{x \to 1^-} f(x)]$.

Svara med en vektor, där varje element är ett rationellt tal. Rationella tal skrivs på formen a/b, där b>0. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare.
Förhandsgranskning:

Fråga 3

Limma ihop parabler

Bestäm det största värdet på $a$ som gör funktionen $$ f(x) = \begin{cases} -2x^2-5x-3, & x \geq a \\ -4x^2-5, &x < a \end{cases} $$ kontinuerlig. (Ledning: En miniräknare med funktionen '$\sqrt{\cdot}$' kan underlätta.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 4

Nästan tangens

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to \pi/4} \frac{9+\frac{\cos(x)}{x-\pi/4}}{7+\frac{\sin(x)}{x-\pi/4}} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att det inte existerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 5

Konvergerande nollställen

Låt $P_n(x)=(1/n)x^2+\sin(1/n)x - 195/(4n)$. I det fall som reella nollställen existerar, låt $s_n$ beteckna den största roten till $P_n(x)$. Bestäm vad $(s_n)$ konvergerar mot.

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 6

Ett stundande slags gränsvärde

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9+h}-\sqrt{9}}{h} $$ existerar och beräkna det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 7

Skalade $n$

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n/5}\right)^{4n} $$ existerar och bestäm det isåfall.

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 8

Nästan $e$

Gränsvärdet $$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{2}{n}\right)^n $$ existerar. Bestäm det. (Svara med tre tecken i svarsrutan.)

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x).
Förhandsgranskning:

Fråga 9

Ett malplacerat $f$

Om funktionen $f: (-1, 1) \to \mathbf{R}$ är det känt att $\lim_{x \to 0} f(x)/x \to 2$ och att $f(x) \neq 0$, om $x \neq 0$. Avgör huruvida $$ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(f(x))-1}{x} $$ existerar och bestäm isåfall gränsvärdet. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 10

Kvot mellan sinusuttryck

Bestäm $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(8x)}{\sin(9x)}$.

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 11

En röra av klassiska gränsvärden

Avgör huruvida gränsvärdet $$ \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{1/x^2} $$ existerar och bestäm det isåfall. (Om du anser att gränsvärdet inte existerar, svara med $-1$.)

(Ledning: Observera att $$ \frac{\sin(x)}{x}=1+\frac{\sin(x)-x}{x}=1+\frac{1}{x/(\sin(x)-x)}. $$ )

Svara med ett funktionsuttryck. Funktioner måste skrivas med parenteser, t.ex. sin(x). Förkorta alla ingående bråk och förenkla så långt som möjligt.
Förhandsgranskning:

Fråga 12

Tre kvalitativa egenskaper

Givet är en kontinuerlig funktion $f: (0, 3) \to \mathbf{R}$, om vilken det är känt att $f(1)=4$ och $f(2)=-2$. Klicka i samtliga alternativ som nödvändigtvis stämmer in på $f$.

Markera alla korrekta alternativ. (Det är tänkbart att inget alternativ är korrekt.) När du är färdig, glöm inte att bekräfta ditt svar genom att klicka på 'Svara'.

Fråga 13

Två alternativ - Cirkelns ekvation

Det finns en kontinuerlig funktion $f: [-1, 1] \to \mathbf{R}$ som uppfyller likheten: $x^2 + f(x)^2 = 1$. Givet att $f(-11/61)=60/61$, bestäm $f(-65/97)$. (Ledning: En miniräknare rekommenderas.)

Svara på formen $a/b$, där $b>0$ och bråket är förkortat så långt som möjligt. Undvik parenteser. Heltal kan skrivas utan nämnare. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning:

Fråga 14

Två alternativ - En kubisk kurva

I nedanstående figur visas de punkter $(x, y)$ som uppfyller ekvationen $y^2=x^2(x+1)$.

Det finns en kontinuerlig funktion $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ som uppfyller ekvationen: $y^2=f(y)^2(f(y)+1)$. Bestäm $f(0)$.

Svara med ett heltal. Utelämna eventuella enheter i svaret.
Förhandsgranskning: