Envariabelanalys M

6.- Integraler - Areor under grafer

Frågor

Fråga 1

Arean under funktionen I

Beräkna integralen för nedan funktion så att den får det största möjliga värdet:

Maximala arean (ungefärligt):

Svara med ett reellt tal.

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)

Fråga 2

Arean under funktionen II

Beräkna arean av det orange området. Där $f(x) = 3x+1$

Svar

Svara med ett reellt tal. Bråk kan anges på formen $a/b$. Undvik parenteser. Utelämna eventuella enheter i svaret.

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)

Fråga 3

Arean under funktionen III

Grafen ovan visar f(x), bestäm vilka påståenden om f(x) som är sanna.

$$\int_{0}^{\pi}f(x) dx \approx 2$$

Sant

Falskt

$$\int_{\pi}^{2\pi}f(x) dx < 0$$

Sant

Falskt

$$\int_{0}^{\pi}f(x) dx = \pi$$

Sant

Falskt

$$\int_{0}^{2\pi}f(x) dx = 0$$

Sant

Falskt

$$\int_{2\pi}^{4\pi}f(x) dx = 0$$

Sant

Falskt

Arean mellan grafen och x-axeln är större mellan 0 och $\pi$ än $\pi$ och $2\pi$

Sant

Falskt

Fråga 4

Arean mellan två funktioner I

Beräkna arean mellan $f(x) = 3x+3$, $g(x) = -0.5x+3$ och $x=3$

Svar

Svara med ett reellt tal. Bråk kan anges på formen $a/b$. Undvik parenteser. Utelämna eventuella enheter i svaret.

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)

Fråga 5

Arean mellan två funktioner II

Beräkna arean som begränsas av $f(x) = x^2-3x+2$, $g(x) = -3x+3 $.

Svar:

Svara med ett reellt tal. Bråk kan anges på formen $a/b$. Undvik parenteser. Utelämna eventuella enheter i svaret.

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)

Fråga 6

Arean mellan två funktioner III

Beräkna arean mellan $f(x)$ och $g(x)$ om $f(x) = \sqrt{x}$ och $g(x) = x^{4}$

Arean:

Svara med ett reellt tal. Bråk kan anges på formen $a/b$. Undvik parenteser. Utelämna eventuella enheter i svaret.

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)