Fråga 1
Visa konvergens med ett jämförelsetest
Med kännedom om att de nedersta serierna konvergerar, para ihop serierna på sådant sätt att jämförelsetestet kan användas för att visa att motsvarande serie i den övre raden konvergerar.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}+n^{n-1}+\dots+n+1}{n^{n+3}} $$
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n\pi)}{n^2+3^n} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\sin(1/n)-1/n) $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} $$
Fråga 2
Visa divergens med ett jämförelsetest
Avgör om jämförelse med serien $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n$ kan (genom jämförelsetestet) påvisa divergens hos följande serier.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+2n+3}{3n^3+2n^2+n+1} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \sin(1/n) $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(1/n)}{n} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^3+2n^2+n+1}{n^2+2n+3} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\cos(1/n)-1) $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} $$