4) Villkor på konstanterna för lösning (1MA025: Linjär algebra och Geometri I läsåret 24/25)

Hitta villkor på konstanterna i högerleden så att ekvationssystemet har lösningar. $$ \left\{ \begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrr} \hspace{-1.0ex} -3 x_1 & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{2} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{3} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{4} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{5} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{6} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} x_{7} & \hspace{-1.0ex} = & \hspace{-1.0ex} a \\ \hspace{-1.0ex} -3 x_1 & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{2} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{3} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{4} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{5} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{6} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} x_{7} & \hspace{-1.0ex} = & \hspace{-1.0ex} b \\ \hspace{-1.0ex} -3 x_1 & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{2} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{3} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{4} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{5} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{6} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} x_{7} & \hspace{-1.0ex} = & \hspace{-1.0ex} c \\ \hspace{-1.0ex} 3 x_1 & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{2} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{3} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{4} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{5} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{6} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} x_{7} & \hspace{-1.0ex} = & \hspace{-1.0ex} d \\ \hspace{-1.0ex} 3 x_1 & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{2} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{3} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{4} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{5} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{6} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} x_{7} & \hspace{-1.0ex} = & \hspace{-1.0ex} f \\ \hspace{-1.0ex} -3 x_1 & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{2} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{3} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{4} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{5} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{6} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} x_{7} & \hspace{-1.0ex} = & \hspace{-1.0ex} g \\ \hspace{-1.0ex} 3 x_1 & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{2} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{3} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{4} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{5} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{6} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} x_{7} & \hspace{-1.0ex} = & \hspace{-1.0ex} h \\ \hspace{-1.0ex} -3 x_1 & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{2} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{3} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{4} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{5} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{6} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} x_{7} & \hspace{-1.0ex} = & \hspace{-1.0ex} i \\ \hspace{-1.0ex} 3 x_1 & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{2} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{3} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{4} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{5} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{6} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} x_{7} & \hspace{-1.0ex} = & \hspace{-1.0ex} j \\ \hspace{-1.0ex} -3 x_1 & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{2} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{3} & \hspace{-1.0ex} - \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{4} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 3 x_{5} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} 2 x_{6} & \hspace{-1.0ex} + \hspace{-1.0ex} & \hspace{-1.0ex} x_{7} & \hspace{-1.0ex} = & \hspace{-1.0ex} l \\ \end{array} \right. $$