1MA025 + 1MA350 läsåret 25/26

6) Avgör längd av, normering av och vinkel mellan vektorer i $\mathbb{R}^n$..

Frågor

Nivå 1

Nivå 2

Fråga 1

Beräkna skalärprodukten

Beräkna skalärprodukten (i standard basen) $$ \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ -9 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} -7 \\ -9 \\ -2 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Svar

Svara med ett reellt tal. Bråk kan anges på formen $a/b$. Undvik parenteser. Utelämna eventuella enheter i svaret.

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)

Fråga 2

Beräkna skalärprodukten

Beräkna skalärprodukten (i standard basen) $$ \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 3 \\ -2 \\ 2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Svar

Svara med ett reellt tal. Bråk kan anges på formen $a/b$. Undvik parenteser. Utelämna eventuella enheter i svaret.

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)

Fråga 3

Beräkna vinklar mellan vektorer

Beräkna vinkeln (i radianer) mellan vektorerna $$ \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \qquad \textrm{och} \qquad \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Svar

Svara med ett reellt tal. Förutom siffror kan du också använda arccos, sqrt, /, *, men inga andra operationer.

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)

Fråga 4

Beräkna vinklar mellan vektorer

Beräkna vinkeln (i radianer) mellan vektorerna $$ \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \textrm{och} \qquad \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Svar

Svara med ett reellt tal. Förutom siffror kan du också använda arccos, sqrt, /, *, men inga andra operationer.

Förhandsgranskning:

Att skriva funktionsuttryck

Funktionsuttryck skrivs i stort sett som man skriver för hand. Funktioner måste dock skrivas med parenteser: d.v.s. cos(x), inte cos x.

Några speciella funktioner:

$\sqrt{x}$ skrivs sqrt(x)
$e^x$ skrivs exp(x) (men även e^x går bra)
$|x|$ skrivs abs(x)

Potenser skrivs med ^: t.ex. skrivs $2^{x+y}$ som 2^(x+y). Observera även att $\sin^2 x$ måste skrivas som sin(x)^2, inte sin^2(x).

Sätt ut parenteser där det behövs: $\dfrac{x+y}{1+x}$ skrivs t.ex. (x+y)/(1+x)

Multiplikationstecken kan men behöver inte skrivas ut: $x\cdot y$ kan skrivas som xy eller x*y.

Utnyttja förhandsgranskningen för att kontrollera att programmet tolkar ditt svar på det sätt som du avsåg!

Att skriva rationella tal

Rationella tal (bråk) skrivs som kvoten av två heltal a/b, där $b > 0$, t.ex. 2/7 eller 23/2. Parenteser behövs inte.

Negativa tal skrivs t.ex. -3/11 inte 3/-11 eller 3/(-11).

Det är viktigt att bråket är förkortat så långt som möjligt. Svara därför till exempel 2/5, inte 4/10.

Om svaret råkar bli ett heltal, behövs ingen nämnare. Det går alltså bra att svara 3. (Även 3/1 fungerar, däremot inte 6/2 som ju inte är förkortat.)

Bråk på "blandad form" godkänns inte, dvs. skriv 3/2 inte 1 1/2.

Att skriva intervall

Intervall kan antingen skrivas med parenteser och/eller hakparenteser, eller som enkla olikheter.

Exempel

Intervallet x ≥-1 kan skrivas [-1,INF) eller x >= -1
Intervallet x < 1/2 kan skrivas (-INF,1/2) eller x < 1/2
Intervallet 1 < x ≤ 3 kan skrivas (1,3] eller 1 < x <= 3

I svar som består av flera intervall ska ; läsas ut som eller, dvs. svaret x < 1 ; x >= 3 betyder "x är mindre än 1 eller x är större än eller lika med 3".

Vanliga missuppattningar

Det går inte att skriva t.ex. 3 < x < 1 om man menar att x ska vara större än 3 eller mindre än 1. (Det finns inga reella tal som uppfyller att 3 < x < 1.)